Himpunan Kosong Bagian Dari Himpunan

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Pada umumnya, belajar matematika identik dengan menghafalkan rumus-rumus tertentu dengan buku panduan yang sangat tebal dan banyak. Itulah yang menyebabkan para pelajar merasa bosan untuk belajar matematika. Seringkali mereka bertanya, "Apa sih manfaat belajar matematika dalam kehidupan sehari-hari? Apa manfaat Aljabar? Apa manfaat himpunan? Apa manfaat trigonometri?".

Pertanyaan itu mereka lontarkan karena mereka sudah kesal terhadap pelajaran mereka yang terasa membosankan dan tidak perlu. Tetapi sebenarnya, matematika sangat berfungsi dalam kehidupan sehari-hari, baik yang paling mudah sampai yang tersulit sekalipun.

Matematika sebagai media untuk melatih berpikir kritis, inovatif, kreatif, mandiri dan mampu menyelesaikan masalah sedangkan bahasa sebagai media menyampaikan ide-ide dan gagasan serta yang ada dalam pikiran manusia. Jelas sekali bahwa Matematika sangat berperan dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak dapat menghindar dari Matematika, sekalipun kita mengambil jurusan ilmu sosial tetap saja ada pelajaran Matematika di dalamnya karena mau tidak mau matematika digunakan dalam aktivitas sehari-hari. Salah satunya penerapan himpunan dalam kehidupan sehari-hari.

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai himpunan sangatlah berguna.

Himpunan biasa digunakan dalam matematika dan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam kehidupan sehari-hari kita jumpai pengertian tersebut seperti dalam Himpunan Mahasiswa Jurusan S2 Matematika Universitas Negeri Makassar (UNM), kumpulan koran bekas, koleksi perangko, kelompok belajar, gugus depan dalam pramuka dan kata sejenis lainnya. Kata-kata himpunan, kumpulan, koleksi, kelompok daam kehidupan sehari-hari memiliki arti yang sama.

Himpunan merupakan salah satu dasar dari matematika. Konsep dalam matematika dapat dikembalikan pada konsep himpunan, misalnya garis adalah himpunan titik. Sebetulnya pengertian himpunan mudah dipahami dan dapat diterima secara intuitif.

Dalam suatu himpunan ada yang namanya himpunan kosong. Banyak orang mengganggap bahwa himpunan kosong itu adalah himpunan yang memiliki anggota yaitu 0 (nol). Selain itu ada juga yang mengganggap bahwa himpunan kosong itu tidak memiliki anggota sehingga himpunan kosong dapat di katakan tidak memiliki hubungan atau kaitannya dengan himpunan padahal jika kita pelajari lebih dalam atau kita telaah sebenarnya Himpunan Kosong itu merupakan Bagian Dari Himpunan. Mengingat demikian pentingnya teori himpunan, maka dalam kesempatan ini akan dijabarkan beberapa konsep mengenai teori himpunan, khusunya himpunan kosong.

B.     Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah yang akan dikaji dalam makalah ini yaitu :

1.      Bagaimana definisi himpunan?

2.      Ada berapa macam himpunan itu?

3.      Kenapa Himpunan Kosong Bagian Dari Himpunan?

C.    Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan penulisan dalam makalah ini yaitu :

1.      Menjelaskan definisi dari himpunan.

2.      Menjelaskan macam-macam himpunan.

3.      Menjelaskan Himpunan Kosong Bagian Dari Himpunan.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Pengertian Himpunan

Konsep himpunan mendasari hampir semua cabang matematika. Gerorg Cantor  dianggap sebagai  Bapak teori himpunan. Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek, yang disebut elemen atau anggota himpunan, dan terdefinisi dengan jelas. Maksud dari terdefinisi dengan jelas adalah bahwa anggota-anggota himpunan dapat ditentukan secara jelas. Sebagai contoh, kumpulan dari semua provinsi-provinsi di Indonesia per Oktober 2013 merupakan suatu himpunan karena kita dapat menentukan dengan jelas anggota-anggota dari himpunan tersebut. Seperti kita tahu, Sulawesi Selatan dan 33 provinsi lainnya merupakan anggota dari himpunan tersebut. Akan tetapi, jika yang dibahas tentang kumpulan dari 5 film-film terbaik tidak termasuk dalam contoh himpunan Karena kata terbaik dapat diinterpretasikan secara berbeda oleh orang yang berbeda, maka kumpulan tersebut tidak terdefinisi dengan jelas. Akibatnya, kumpulan dari 5 film-film terbaik bukan suatu himpunan.

Himpunan selalu dinyatakan dengan huruf besar,seperti A,B,C,dan seterusnya. Setiap benda atau obyek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dan dilambangkan dengan " "(baca: anggota), sedang untuk menyatakan bahwa suatu benda atau obyek bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang " "(baca: bukan anggota).

B.     Cara Penyajian Suatu Himpunan

Dalam penyajiannya himpunan terdapat beberapa cara yaitu sebagai berikut:

1.      Notasi Himpunan

Sebuah himpunan biasanya dinyatakan dengan simbol simbol tertentu, biasanya sebuah himpunan dinyatakan dengan menggunakan huruf besar/kapital seperti A, B, C, D, E, dst. atau bisa juga ditandai dengan adanya kurung kurawal, {…} sedangkan anggota dari himpunan tersebut biasanya ditandai dengan menggunakan huruf alfabet kecil seperti a,b,c,d,e, dst. 

2.      Enumerasi

Enumerasi adalah cara menyatakan himpunan dengan menuliskan seluruh anggota himpunan di dalam kurung kurawal. Setiap anggota di dalamnya dipisahkan dengan tanda koma. Misalnya: x = {s,a,p,i}

3.      Simbol baku

Ada bberapa simbol tertentu yang sudah disepakati untuk menyatakan sebuah himpunan. sebagai contoh, simbol P biasanya digunakan utnuk menyatakan himpunan bilangan bulat positif, sedangkan huruf R digunakan untuk menyatakan sebuah himpunan yang berisi bilangan riil.

4.      Notasi pembentukan himpunan

Himpunan juga bis dinyatakan dengan cara menulis ciri-ciri umum dari anggota yang ada di dalam himpunan tersebut. misalnya: A = {x|x adalah himpunan bilangan riil}

5.      Diagram venn

Adalah cara menyatakan sebuah himpunan dengan menggambarkannnya dalam bentuk grafis. masing masing himpunan digambarkan dalam sebuah lingkaran dan dilingkupi olah himpunan semesta yang dinyatakan dalam bentuk persegi empat seperti pada gambar berikut:

6.      Diagram garis

 
Diagram diatas menyatakan bahwa A dan B merupakan himpunan bagian dari C.

7.      Diagram Cartes

Rene Descartes menjelaskan suatu himpunan dalam bentuk garis bilangan seperti gambar di bawah ini:

C.    Macam-macam Himpunan

Menurut macamnya  dalam dunia Matematika himpunan terbagi dalam beberapa bagian yaitu sebagai berikut :

1.      Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan A dikatakan  himpunan  bagian  (subset)  dari  himpunan B ditulis “A ⊂ B”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.

2.      Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat atau mencakup keseluruhan anggota yang sedang dibahas, Biasanya himpunan semesta ditetapkan sebelum kita membicarakan suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam pembicaraan tersebut merupakan bagian dari himpunan pembicaraan dan biasanya ditandai dengan huruf  “S” (semesta) atau “U” (universum).

3.      Himpunan Berhingga

Himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah.

4.      Himpunan Tak Berhingga

Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi syarat himpunan berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain himpunan A, n banyak anggotanya tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah.

5.      Himpunan Sama (Equal)

Himpunan dikatankan sama bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya. Himpunan A sama dengan himpunan B, disimbolkan dengan A = B, jika dan hanya jika himpunan A dan himpunan B memuat anggota-anggota yang tepat sama.

6.      Himpunan Lepas

Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang sama. Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama.

7.      Himpunan Komplemen (Complement set)

Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi A^C . Himpunan komplemen jika di misalkan U = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi A^C = {1,2,6,7}. Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis : A^C = {x│x Î U, x Ï A}.

8.      Himpunan Ekuivalen (Equal Set)

Himpunan A ekuivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika n(A) = n(B). Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan himpunan lain. Syarat  Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n(A) A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B,

9.      Himpunan Kosong (Null Or Empty Set)

Suatu himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong dan disimbolkan sebagai { } atau Ø. Himpunan kosong adalah tunggal dan merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan { 0 },  Sebab : { 0 } ≠ { }.

Definisi 1 : Himpunan kosong di definisikan jika setiap anggota A merupakan anggota B. Dengan kata lain,  jika , maka .

Untuk lebih jelasnya dalam membahas masalah himpunan kosong dikatakan tunggal dan merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan akan di bahas secara khusus pada makalah ini.

D.    Himpunan Kosong Bagian Dari Himpunan

Himpunan kosong sebenarnya merupakan istilah yang ‘terlihat’ kontradiksi dengan pengertian himpunan itu sendiri. Kita tahu himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objek yang terdefinisi dengan jelas. Dalam pengertian itu ada dua istilah yang penting yaitu kumpulan objek dan terdefinisi dengan jelas. Maksud terdefinisi dengan jelas adalah setiap orang yang berakal memiliki persepsi yang sama tentang keanggotaan himpunan. Misalnya, hewan berkaki empat, bilangan prima, bilangan genap, adalah konsep-konsep yang dipersepsi sama oleh setiap orang. Berlainan dengan hal tersebut adalah kriteria cantik yang akan dipersepsi berebda-beda dengan setiap orang karena tidak ada ukuran yang objektif.

Istilah yang kedua adalah kumpulan objek. Hal ini berarti harus ada objek untuk dikatakan sebagai himpunan. Di sinilah letak kontradiksi himpunan kosong yang saya maksud. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota, padahal definisi himpunan mensyaratkan adanya objek (anggota). Namun demikian, himpunan kosong tetap disertakan dalam pembahasan himpunan. Jika ditilik lebih lanjut, eksistensi himpunan kosong sebenarnya merupakan konsekuensi logika yang digunakan dalam matematika.

Himpunan kosong memiliki sifat-sifat yang ‘istimewa’, yang ada karena konsekuensi logika. Sifat istimewa tersebut tersebut adalah sebagai berikut:

v  Himpunan Kosong adalah subset dari sebarang himpunan

v  Berkaitan dengan sifat kelengkapan himpunan bilangan real, batas atas himpunan kosong adalah seluruh bilangan real. Demikian pula dengan batas bawahnya.

v  Dalam Topologi, himpunan Kosong adalah himpunan buka sekaligus himpunan tutup.

Kemudian timbul pertanyaan “mengapa himpunan kosong subset dari sebarang himpunan?” untuk menjawab pertanyaan tersebut Perhatikan kembali definisi subset yang menyatakan

“Himpunan kosong di definisikan jika setiap anggota A merupakan anggota B. Dengan kata lain,  jika , maka ”

Jika A kita ganti , maka pernyataan  benilai salah, sehingga apa pun nilai pernyataan , maka pernyataan “jika , maka  ” bernilai benar. Akibatnya himpunan kosong adalah subset dari sebarang himpunan. Cara yang kedua adalah dengan melihat kontraposisi pernyataan “jika , maka “.

Selanjutnya, batas atas dan batas bawah himpunan kosong adalah seluruh bilangan real. Argumennya serupa dengan argumen di atas. Sedangkan, himpunan kosong adalah himpunan buka sekaligus himpunan tutup berasal dari definisi topologi yang mengharuskan adanya himpunan kosong dan himpunan semestanya.

Didalam topologi kita tahu jika A merupakan himpunan terbuka maka A^C adalah himpunan tertutup. Dengan kata lain himpunan tertutup merupakan komplement dari himpunan terbuka, begitu pula sebaliknya. Sehingga himpunan kosong merupakan himpunan terbuka dan juga tertutup. Untuk membuktikannya pertama-tama saya akan menunjukan himpunan kosong merupakan himpunan terbuka.

Definisi 2 : Himpunan A dikatakan terbuka jika semua anggotanya merupakan titik dalam dari A

Itu berarti untuk mempuktikan himpunan kosong merupakan himpunan terbuka, kita harus membuktikan  maka x merupakan titik dalam dari Jelas antisedennya salah. Seperti yang kita ketahui, kalimat implikasi akan bernilai benar jika antisedennya salah. Jadi terbukti himpunan kosong adalah himpunan terbuka. Selanjutnya akan ditunjukan himpunan kosong merupakan himpunan tertutup.

Ada beberapa definisi dari himpunan kosong, tentunya kesemua definisi tersebut ekuivalen. Untuk membuktikan himpunan kosong merupakan himpunan tertutup, saya akan memakai definisi himpunan tertutup sebagai berikut.

Definisi 3 : Himpuanan A dikatakan tertutup jika memuat semua titik batasnya

Jika kita notasikan   sebagai himpunan semua titik batas dari A maka untuk membuktikan himpunan kosong merupakan himpunan tertutup, kita harus membuktikan . Dari penjelasan tersebut dapat kita ketahui isi dari  merupakan himpunan kosong. Jadi, . Sehingga jelas himpunan kosong merupakan himpunan terbuka dan tertutup.

BAB III

PENUTUP 

A.    Kesimpulan

1.      Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek, yang disebut elemen atau anggota himpunan, dan terdefinisi dengan jelas. Maksud dari terdefinisi dengan jelas adalah bahwa anggota-anggota himpunan dapat ditentukan secara jelas.

2.      Himpunan terdiri dari beberapa macam yaitu :

a.       Himpunan Bagian (Subset).

b.      Himpunan Semesta

c.       Himpunan Berhingga

d.      Himpunan Tak Berhingga

e.       Himpunan Sama (Equal)

f.       Himpunan Lepas

g.      Himpunan Komplemen (Complement set)

h.      Himpunan Ekuivalen (Equal Set)

i.        Himpunan Kosong (Null Or Empty Set)

3.      Himpunan kosong dikatakan bagian dari himpunan karena semua himpunan akan selalu memuat yang namanya himpunan kosong atau himpunan kosong adalah sabsed dari sembarang himpunan.

B.     S a r a n

Sebaiknya dalam penyusunan makalah selanjutnya menenai materi ini  pembaca hendaknya memperbanyak referensi dari buku-buku ataupun jurnal-jurnal sehingga pada pembuatan makalah berikutnya dapat lebih baik dan sempurnah dari makalah ini.

DAFTAR PUSTAKA

Anggaradana kadek. 2013. HIMPUNAN dan ANGGOTA-ANGGOTANYA http://anggaradana.blogspot.co.id/ ; di akses 26 oktober 2015

JP GIE. 2015. Pengertian, Teori, Konsep dan Jenis Himpunan Matematika. http://www.rumusmatematikadasar.com/ ; di akses 26 oktober 2015

Habibie Ady. 2010. Gudang rumus matematika SMP/MTs kelas 1, 2, & 3. Pamulang Timur Tangerang Selatan : Iloken Media

Negoro, ST & Harahap. B. 2001. Isiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia

Nuh Muhammad. 2013. Buku Guru Matematika SMP/MTs Kelas VII.  Politeknik Negeri Media Kreatif : Jakarta.

Nurani Dewi. 2008. Matematika konsep dan aplikasinya untul kelas VII SMP dan MTs. Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008.

Nursatria. 2010. Himpunan kosong merupakan himpunan terbuka dan tertutup. https://ariaturns.wordpress.com/2010/04/06/himpunan-kosong-merupakan-himpunan-terbuka-dan-tertutup/;  di akses 26 oktober 2015

Nursatria. 2010.  Himpunan kosong termuat disebarang himpunan, ah yang benar?. https://ariaturns.wordpress.com/2010/03/30/himpunan-kosong-termuat-disebarang-himpunan-ah-yang-benar/ ;  di akses 26 oktober 2015

Mutakin awar. 2010. Himpunan. https://anwarmutaqin.wordpress.com/2010/12/03/ himpunan/  ; di akses 26 oktober 2015

Untoro Joko. Rumus lengkap matematika SMP. Depok : Wahyu Media

Wintarti atik dkk. 2013. Contextual teaching and learning matematika sekolah enengah pertama/Madrasyah Tsanawiyah Kelas VII Edisi 4. Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008

yos3prens. 2013. Konsep Himpunan. https://yos3prens.wordpress.com/2013/10/25/ konsep-himpunan/ ; di akses 26 oktober 2015